Wang Haihua
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当我们想计算两个函数乘积的积分时，可以使用分部积分法。这是微分乘积法则的一个简单结果。
$$ d \left(f(x) g(x) \right) = g(x) df(x) + f(x) dg(x) $$$$ \displaystyle\int_a^b d \left(f(x) g(x) \right) = \displaystyle\int_a^b g(x) df(x) + \displaystyle\int_a^b f(x) dg(x) $$$$ \displaystyle\int_a^b g(x) \dfrac{df(x)}{dx}dx = \left(f(b) g(b) - f(a) g(a)\right) - \displaystyle\int_a^b f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}{dx} $$考虑如下积分 $$ \displaystyle\int_0^1 x \mathrm{e}^x dx $$ 它可以写成两项乘积的形式 $$ \displaystyle\int_a^b g(x) \dfrac{df(x)}{dx}dx $$ 其中 $$ g(x) = x $$
$$ f(x) = \mathrm{e}^x $$因此我们有 $$ \displaystyle\int_0^1 x \dfrac{d \mathrm{e}^x}{dx}dx = \left(\mathrm{e}^1 \cdot 1 - \mathrm{e}^0 \cdot 0\right) - \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^x \dfrac{dx}{dx}{dx} = \mathrm{e} - \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^x {dx} = \mathrm{e} - (\mathrm{e}^1 - \mathrm{e}^0) = \mathrm{e} - \mathrm{e} + 1 = 1 $$
考虑如下积分
$$ \displaystyle\int_0^1 x^2 \mathrm{e}^x dx $$使用分部积分法得
$$ \begin{aligned} \displaystyle\int_0^1 x^2 \dfrac{d \mathrm{e}^x}{dx}dx &= \left(\mathrm{e}^1 \cdot 1^2 - \mathrm{e}^0 \cdot 0^2\right) - \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^x \dfrac{d(x^2)}{dx}{dx} \\ &= \mathrm{e} - 2 \displaystyle\int_0^1 x \mathrm{e}^x {dx} \end{aligned} $$考虑如下函数
$$ \displaystyle\int_1^2 \log(x) dx $$可以被写成两个函数的乘积 $$ \displaystyle\int_1^2 g(x) \dfrac{df(x)}{dx}dx $$ 其中 $$ g(x) = \log(x) $$ 以及 $$ f(x) = x $$
接下来使用分部积分法：
$$ \begin{aligned} \displaystyle\int_1^2 \log(x) dx &= \left(\log(2) \cdot 2 - \log(1) \cdot 1 \right) - \int_1^2 x \dfrac{d(\log(x))}{dx}{dx} \\ &= 2 \log(2) - \int_1^2 x \cdot \left(\frac{1}{x}\right) dx = 2 \log(2) - \int_1^2 1 dx \\ &= 2 \log(2) - (2 - 1) \\ &= 2 \log(2) - 1 \end{aligned} $$在这个推导过程中，我们使用的是$\log(x)$ 的导数是 $\frac{1}{x}$ (for $x > 0$).
考虑如下函数：
$$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} x \sin(x) dx $$写成函数乘积的形式 $$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} g(x) \dfrac{df(x)}{dx}dx $$ 其中 $$ g(x) = x $$
$$ f(x) = -\cos(x) $$利用分部积分法可得
$$ \begin{aligned} \displaystyle\int_0^{\pi/2} x \sin(x) dx &= \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \cos(0) \cdot 0 \right) - \int_0^{\pi/2} (-\cos(x)) \dfrac{dx}{dx}{dx} \\ &= \int_0^{\pi/2} \cos(x) {dx}\\ &= \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(0)\\ &= 1 \end{aligned} $$考虑如下积分
$$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \sin(x) dx $$写成乘积形式 $$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} g(x) \dfrac{df(x)}{dx}dx $$ 其中 $$ g(x) = \mathrm{e}^x $$
$$ f(x) = -\cos(x) $$利用分部积分法
$$ \begin{aligned} \displaystyle\int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \sin(x) dx &= \left(-\cos(\dfrac{\pi}{2}) \cdot \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} + \cos(0) \cdot \mathrm{e}^0 \right) - \int_0^{\pi/2} (-\cos(x)) \dfrac{d \mathrm{e}^x}{dx}{dx} \\ &= 1 + \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \cos(x) {dx} \end{aligned} $$我们得到的积分与原来的积分形式相似，因此我们可以再次使用分部积分法:
$$ \begin{aligned} \displaystyle\int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \sin(x) dx &= 1 + \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \cos(x) {dx} \\ &= 1 + (\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} \cdot \sin(\dfrac{\pi}{2}) - \mathrm{e}^{0} \cdot \sin(0)) - \int_0^{\pi/2} e^x \sin(x) {dx} \\ &= 1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \sin(x) {dx} \end{aligned} $$因此有如下方程
$$ \displaystyle\int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \sin(x) dx = 1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \sin(x) {dx} $$注意，左边和右边都出现了相同的积分。因此，我们可以通过解一个代数方程来求积分值:
$$ \mathcal{I} = 1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} - \mathcal{I} $$where
$$ \mathcal{I} = \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \sin(x) dx $$结果是：
$$ 2 \mathcal{I} = 1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} $$$$ \mathcal{I} =\dfrac{1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2} $$